跳到主要内容

年金的现值_Present Value of an Annuity

年金的现值是什么？​

年金的现值是指在给定回报率或折现率的情况下，未来年金支付的当前价值。折现率越高，年金的现值就越低。

现值（PV）是一个重要的计算，基于“货币时间价值”的概念，即今天的一美元在购买力上相对于未来的一美元更具“价值”。

关键要点​

  • 年金的现值是指今天需要多少钱来支付未来的一系列年金。
  • 由于货币时间价值，今天收到的一笔钱比未来同样数量的钱更有价值。
  • 你可以通过现值计算来判断一次性领取现金与分多年来逐步领取年金哪个更划算。

理解年金的现值​

年金是一种金融产品，向个人提供一段时间内连续的支付，通常以定期付款的形式出现。年金可以是立即支付的或递延的，具体取决于支付的开始时间。立即年金是立即开始支付，而递延年金则在支付开始前存在一定的延迟。

因为货币时间价值的原因，今天收到的钱比未来相同数额的钱更具价值，因为这笔钱可以在此期间进行投资。以此类推，今天收到的5000美元比五年内分五次每年1000美元的支付更具价值。

现值是年金的一个重要概念，因为它使个人能够比较未来一系列支付的价值和今天一次性支付的价值。通过计算年金的现值，个人可以决定一次性支付或分多年支付的年金哪个对他们更有利。这在进行财务决策时尤为重要，例如选择从养老金计划中领取一次性现金还是接受一系列的年金支付。

养老金提供者会确定应付给受益人的支付的当前价值。[1] 这样做是为了确保能够满足未来的支付义务。

现值计算还可以用来比较不同年金选项的相对价值，例如支付金额或支付时间表不同的年金。

折现率是计算年金现值的关键因素。折现率是假设的收益率或利率，用于确定未来支付的现值。

折现率反映了货币的时间价值，这意味着今天的一美元比未来的一美元更值钱，因为今天的这笔钱可以被投资，并可能获得收益。[2] 较高的折现率会导致年金的现值更低，因为未来的支付会被更多折现。相反，较低的折现率则会导致年金的现值更高，因为未来的支付会被较少折现。

通常，用于计算年金现值的折现率应反映个人的资本机会成本，或者说投资其他金融工具所期待获得的回报。例如，如果个人通过投资高质量的企业债券能够获得5%的回报，他们在计算年金现值时可能会使用5%的折现率。此类计算中使用的最小折现率是无风险收益率。美国国债通常被认为是最接近无风险投资的，因此它们的回报常常被用于此目的。[3]

需要注意的是，用于现值计算的折现率并不等同于可能应用于年金支付的利率。折现率反映了货币的时间价值，而应用于年金支付的利率则反映了借款成本或投资获得的回报。

注意： 现值的相对概念是未来值（FV）。未来值同样是通过折现率计算的，但它扩展到未来。

年金现值的公式与计算​

普通年金的现值公式如下。普通年金在特定时期结束时支付利息，而非在开始时：4

P=PMT×1−(1(1+r)n)r其中：P=年金流的现值PMT=每次年金支付的美元金额r=利率（也称为折现率）n=支付期数\begin{aligned} &\text{P} = \text{PMT} \times \frac { 1 - \Big ( \frac { 1 }{ ( 1 + r ) ^ n } \Big ) }{ r } \\ &\textbf{其中：} \\ &\text{P} = \text{年金流的现值} \\ &\text{PMT} = \text{每次年金支付的美元金额} \\ &r = \text{利率（也称为折现率）} \\ &n = \text{支付期数} \\ \end{aligned}

年金现值的例子​

假设某人可以选择接受一个普通年金，该年金每年支付50,000美元，持续25年，折现率为6%，或者选择一次性领取650,000美元。哪种选择更好？使用上述公式，年金的现值为：

现值=$50,000×1−(1(1+0.06)25)0.06=$639,168\begin{aligned} \text{现值} &= \$50,000 \times \frac { 1 - \Big ( \frac { 1 }{ ( 1 + 0.06 ) ^ {25} } \Big ) }{ 0.06 } \\ &= \$639,168 \\ \end{aligned}

根据这些信息，基于时间调整，年金的价值比650,000美元低10,832美元，因此选择一次性支付将更有利。

年金与到期年金的区别​

普通年金在每个支付周期结束时支付，而到期年金则在每个支付周期开始时支付。在其他条件相同的情况下，到期年金在现值上会更高。[5] 在到期年金的情况下，由于支付在每个周期的开始，所以其公式略有不同。要计算到期年金的现值，只需将上述公式乘以（1 + r）的因子：6

P=PMT×1−(1(1+r)n)r×(1+r)\begin{aligned} &\text{P} = \text{PMT} \times \frac { 1 - \Big ( \frac { 1 }{ ( 1 + r ) ^ n } \Big ) }{ r } \times ( 1 + r ) \\ \end{aligned}

因此，如果上述例子提到的是到期年金，那么其价值为：

现值=$50,000×1−(1(1+0.06)25)0.06×(1+.06)=$677,518\begin{aligned} \text{现值} &= \$50,000 \times \frac { 1 - \Big ( \frac { 1 }{ ( 1 + 0.06 ) ^ {25} } \Big ) }{ 0.06 } \times ( 1 + .06 ) \\ &= \$677,518 \\ \end{aligned}

在这种情况下，选择到期年金更为合适，因为其价值比650,000美元的一次性支付高出27,518美元。

为什么未来值（FV）对投资者很重要？​

未来值（FV）是基于假设的增长率计算的当前资产在未来某一日期的价值。对于投资者而言，这很重要，因为投资者可以用它来估算今天投资的未来价值。这将帮助他们根据预期需求做出明智的投资决策。然而，外部经济因素，例如通货膨胀，可能会不利地影响资产的未来价值，从而侵蚀其价值。[7]

普通年金与到期年金的区别是什么？​

普通年金是指在固定时间段内在连续期间末支付的相等金额的系列支付。普通年金的例子包括贷款，例如抵押贷款。到期年金的支付在每个支付周期开始时进行。到期年金支付的常见例子是租金。这种支付时间的差异导致了现值和未来值计算的不同。[5]

普通年金现值的公式是什么？​

普通年金的现值公式为：4

P=PMT×1−(1(1+r)n)r其中：P=年金流的现值PMT=每次年金支付的美元金额r=利率（也称为折现率）n=支付期数\begin{aligned} &\text{P} = \text{PMT} \times \frac { 1 - \Big ( \frac { 1 }{ ( 1 + r ) ^ n } \Big ) }{ r } \\ &\textbf{其中：} \\ &\text{P} = \text{年金流的现值} \\ &\text{PMT} = \text{每次年金支付的美元金额} \\ &r = \text{利率（也称为折现率）} \\ &n = \text{支付期数} \\ \end{aligned}

到期年金现值的公式是什么？​

在到期年金中，支付在每个周期开始时进行，其公式与普通年金的公式略有不同。要找到到期年金的价值，只需将上述公式乘以（1 + r）的因子：6

P=PMT×1−(1(1+r)n)r×(1+r)\begin{aligned} &\text{P} = \text{PMT} \times \frac { 1 - \Big ( \frac { 1 }{ ( 1 + r ) ^ n } \Big ) }{ r } \times ( 1 + r ) \\ \end{aligned}

总结​

年金的现值（PV）是指在特定的回报率或折现率下，未来年金支付的当前价值。它使用一个考虑了货币时间价值和折现率的公式进行计算，折现率是一个假设的回报率或利率，适用于与支付周期相同的时段。年金的现值可以用于判断一次性现金支付与分多年支付的年金哪个更有利。

参考文献​

[1] Cornell Law School, Legal Information Institute. "26 CFR § 25.2512-5 - Valuation of Annuities, Unitrust Interests, Interests for Life or Term of Years, and Remainder or Reversionary Interests."

[2] Rice University, OpenStax. "Principles of Finance: 8.2 Annuities."

[3] TreasuryDirect. "Treasury Bonds."

[4] George Brown College. "Formula Sheet for Financial Mathematics." Page 2.

[5] Wai-sum Chan and Yiu-kuen Tse. “Financial Mathematics for Actuaries (Third Edition),” Pages 40-43. World Scientific Publishing Company, 2021.

[6] George Brown College. "Formula Sheet for Financial Mathematics." Page 3.

[7] Rahman, Mohammad. "Time Value of Money: A Case Study on Its Concept and Its Application in Real Life Problems." International Journal of Research in Finance and Management, vol. 1, no. 1, 2018, pp. 18-23.